Андрей Анатольевич родился в Орше. Учился в Смольянском совхозе –техникуме Оршанского района. В 2004 году окончил Белорусскую государственную сельскохозяйственную академию по специальности «агрономия». В 2007 прошел переподготовку в этом же вузе по специальности «информационно-консультативная деятельность в агропромышленном комплексе». В 2013 году окончил Академию управления при Президенте Республики Беларусь.

Трудовой путь Андрей Булавкин начал в 1999 году бригадиром колхоза имени Заслонова (с 2001 года – унитарное сельскохозяйственное предприятие «Заболотье»), затем несколько лет работал в этом хозяйстве агрономом-агрохимиком, главным агрономом. С 2007-го по 2009-ый год возглавлял СПК «Росский Селец» на Оршанщине. Далее работал первым заместителем начальника управления сельского хозяйства и продовольствия Бешенковичского райисполкома. Позже три года являлся главой  Бешенковичского района. В 2020-м году Андрей Булавкин стал директором Оршанского мясоконсервного комбината, затем генеральным директором этого предприятия, реорганизованного в ОАО «Оршанский мясоконсервный комбинат». На протяжении двух лет работал заместителем генерального директора по сельскому хозяйству ОАО «Витебский мясокомбинат».

До назначения на занимаемую ныне должность Андрей Булавкин являлся первым заместителем председателя – начальником управления по сельскому хозяйству и продовольствию Лиозненского райисполкома.

Женат.